Les travaux de Leibniz, (1646-1716) notamment sa définition de l’identité à partir des propriétés communes et son projet d’établir une langue bien définie, capable de fournir une caractéristique universelle, esquissèrent de nouvelles perspectives pour la recherche logique. Un écho se fit entendre avec le projet de Kant de développer une pensée pure, détachée de toute intuition.
Il fallut cependant attendre le XIXe siècle pour que le formalisme se développât à nouveau, d’abord dans le prolongement des mathématiques avec la Recherche sur les lois de la pensée (1854) de George Boole, puis avec la publication de l’Idéographie (1879) et les Recherches logiques (1916-1925) de Gottlob Frege. En quelques années, l’ensemble de ces travaux aboutirent à l’élaboration d’un système de signes. L’ouvrage intitulé les Fondements de l’arithmétique (1884) de Frege montra que l’unité est un concept, et non la propriété d’un concept ou d’un objet. Il définit le concept comme une fonction dont les caractères décrivent les objets auxquels il fait référence, et l’affirmation de leur existence comme la simple négation du nombre zéro.
Prolongeant cette approche, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead rédigèrent les Principia Mathematica (3 vol., 1910-1913) en formalisant l’ensemble des questions qu’ils traitaient. Le système logique de Russell et Whitehead couvre une gamme d’arguments possibles nettement plus étendue que celle des arguments que l’on peut couler dans la forme d’un syllogisme. Il introduit des symboles représentant des propositions complètes et les conjonctions qui les relient telles que « ou, et » et « si..., alors... ». Il utilise des symboles différents pour le sujet logique et pour le prédicat logique de la phrase, et d’autres symboles pour les classes, les membres des classes et la relation d’appartenance et d’inclusion dans une classe. Il se distingue aussi de la logique classique en ce qui concerne la présomption de l’existence des choses auxquelles les propositions universelles se réfèrent. La proposition « Tous les A sont des B » signifie pour la logique moderne « Si quelque chose est un A, alors c’est un B », proposition qui ne présuppose pas, à la différence de la logique classique, qu’un A quelconque existe.
L’ambition de la logique mathématique, ou logique symbolique, fut de fonder les sciences et de résoudre les problèmes de la philosophie, par l’utilisation d’un langage réduit à des formules de type logico-mathématique.
WHITEHEAD,
La logique aristotélicienne et la logique symbolique constituent toutes deux des systèmes de logique déductive. En un certain sens, les prémisses d’un argument valable contiennent déjà la conclusion, et la vérité de la conclusion résulte avec certitude de la vérité des prémisses.
On s’est aussi attaché à construire des systèmes de logique inductive, où les prémisses sont des propositions singulières dont on tire une conclusion générale ; dans ce cas, la vérité de la conclusion ne découle de celle des prémisses que de manière probable. La plus remarquable contribution à la logique inductive fut apportée par le philosophe britannique John Stuart MILL qui, dans son Système de logique inductive et déductive (1843), formula les méthodes démonstratives qui caractérisent, selon lui, la science empirique.
Au XXe siècle, cette recherche s’est étendue au domaine de la philosophie des sciences. Elle est étroitement liée à la branche des mathématiques appelée théorie des probabilités.